第1章 緒 論 18

☆ 1.1 超越的思維 ........................................ 20

☆ 1.2 不要用計算來困住自己.................................. 23

☆ 1.3 數學小神童是真的嗎？.................................. 25

☆ 1.4 近代文明的基石 ........................................ 28

☆ 1.5 偉大的芝諾詭論(Paradoxes of Zeno ).................... 30

☆ 1.6 金字塔的神奇 ........................................ 32

☆ 1.7 工具的發明使人類進入超越的時代........................ 33

☆ 1.8 把數學口語化 ........................................ 34



第2章 數學是宇宙的真理 36

☆ 2.1 你還在土法煉鋼嗎？.................................... 38

☆ 2.2 數學是一種偉大的思維.................................. 40

☆ 2.3 在「答案」背後的意義...................................... 42

☆ 2.4 數學是美也是真理...................................... 43

☆ 2.5 數值在歷史上的迷思.................................... 45

☆ 2.6 病毒數學有驚人智慧.................................... 46

☆ 2.7 數學是代表宇宙的真理.................................. 48

☆ 2.8 數學之唯美 ........................................ 52

☆ 2.9 複數使宇宙變得偉大.................................... 54

☆ 2.10 世界上最美的方程式.................................... 56

☆ 2.11 如何解讀世界上最美的方程式............................ 57

☆ 2.12 思維的特質使人成為天才................................ 61



第3章 大自然的曼妙哲學與原理 64

☆ 3.1 脫離傳統的制度 ........................................ 66

☆ 3.2 只要懂得她就不會忘記她................................ 68

☆ 3.3 偉大的生命曲線 ........................................ 72

☆ 3.4 函數是一種因與果的對應關係............................ 75

☆ 3.5 明晰透徹的解悟 ........................................ 79

☆ 3.6 【典範範例】集錦....................................... 81

【★★★典範範例3-01】.................................. 81

【★★★典範範例3-02】.................................. 85

【★★★典範範例3-03】.................................. 88

【★★★典範範例3-04】.................................. 89

【★★★典範範例3-05】.................................. 91

【★★★典範範例3-06】.................................. 92

【★★★典範範例3-07】.................................. 94

【★★★★典範範例3-08】[ 研究與分析].................... 95



第4章 從微積分的思維說起 100

☆ 4.1 人們自古就喜歡算命................................... 102

☆ 4.2 微分是研究因果相應之道的大學問....................... 103

☆ 4.3 積分是研究「積因得果」之道........................... 106

☆ 4.4 微積分是一種研究「瞬息萬變」的大學問................. 110

☆ 4.5 不要把微分與導數弄混淆了............................. 113

☆ 4.6 為什麼積分是反微分呢？............................... 114

☆ 4.7 微分與積分在觀念上的精細解析......................... 116

【★★★問題與研究】................................... 118

☆ 4.8 直線的積分會是什麼？................................. 120

【★★★問題與研究】................................... 122

☆ 4.9 生命曲線的微分會是什麼？............................. 123

【★★★問題與研究】................................... 125



第5章 讓我們的思維飛到無窮遠的地方 130

☆ 5.1 人類因幻想而偉大..................................... 132

☆ 5.2 來到那「極限」的地方................................. 133

☆ 5.3 你知道1=2 的悖論嗎？................................. 135

☆ 5.4 極限(limits) 的問題與思維............................ 137

☆ 5.5 【典範範例】集錦...................................... 140

【★★★典範範例5-01】................................. 140

【★★★典範範例5-02】................................. 141

【★★★典範範例5-03】................................. 142

【★★★典範範例5-04】................................. 144

【★★★典範範例5-05】................................. 145

【★★★典範範例5-06】................................. 147

【★★★典範範例5-07】................................. 149

【★★★★典範範例5-08】 [ 研究與分析]................. 151

【★★★★典範範例5-09】 [ 研究與分析]................. 155



第6章 微分究竟想做什麼？ 158

☆ 6.1 讀書的學問之道 ....................................... 160

☆ 6.2 事情永遠都在變化..................................... 162

☆ 6.3 微分是求微量的因果之道............................... 164

☆ 6.4 進一步的談導數與微分................................. 166

☆ 6.5 微分就是研究瞬息變化的因果之道....................... 169

☆ 6.6 數學中的微分方法..................................... 170

☆ 6.7 對於微分的結果之解讀與學問之道....................... 171

☆ 6.8 【典範範例】集錦...................................... 177

【★★★典範範例6-01】................................. 177

【★★★典範範例6-02】................................. 180

【★★★★典範範例6-03】 [ 研究與分析]................. 182

【★★★★典範範例6-04】 [ 研究與分析]................. 185

【★★★★典範範例6-05】 [ 研究與分析]................. 188

【★★★★典範範例6-06】 [ 研究與分析]................. 192



第7章 奇特的三角函數微分 196

☆ 7.1 世界上最實用的科學................................... 198

☆ 7.2 基本三角函數的微分................................... 200

☆ 7.3 為什麼sin(x) 的微分是cos(x) 呢？..................... 201

☆ 7.4 為什麼cos(x) 的微分卻是-sin(x) 呢？.................. 205

☆ 7.5 綜合型三角函數的微分................................. 207

☆ 7.6 【典範範例】集錦...................................... 209

【★★★典範範例7-01】................................. 209

【★★★典範範例7-02】................................. 211

【★★★典範範例7-03】................................. 213

【★★★★典範範例7-04】[ 研究與分析]................... 215

【★★★★典範範例7-05】[ 研究與分析]................... 218

【★★★★典範範例7-06】[ 研究與分析]................... 221



第8章 為大自然說話的曲線 226

☆ 8.1 大自然的生命道理..................................... 228

☆ 8.2 用白話文講「指數」................................... 231

☆ 8.3 自然指數在數學上的定義............................... 232

☆ 8.4 指數運算定律 ....................................... 233

☆ 8.5 指數函數的特性曲線................................... 235

☆ 8.6 這個e=2.71828 是什麼意思？........................... 236

☆ 8.7 「對數」是什麼意思？................................. 238

☆ 8.8 用白話文講「對數」................................... 240

☆ 8.9 【典範範例】集錦...................................... 241

【★★★典範範例8-01】................................. 241

【★★★典範範例8-02】................................. 243

【★★★典範範例8-03】................................. 244

【★★★典範範例8-04】................................. 246

【★★★典範範例8-05】................................. 247

【★★★★典範範例8-06】 [ 研究與分析]................. 249

【★★★★典範範例8-07】 [ 研究與分析]................. 251

【★★★★典範範例8-08】 [ 研究與分析]................. 253

【★★★★典範範例8-09】 [ 研究與分析]................. 256

【★★★★典範範例8-10】 [ 研究與分析]................. 257



第9章 用白話文講指數與對數的微分 260

☆ 9.1 再用白話文講「指數」................................. 262

☆ 9.2 自然指數特性曲線圖的意義............................. 264

☆ 9.3 在指數運算上最常犯的一些錯誤......................... 266

☆ 9.4 指數的微分是一條打不死的龍........................... 267

☆ 9.5 指數微分與符號法則................................... 269

☆ 9.6 什麼是對數函數 ....................................... 270

☆ 9.7 如何口語化數學 ....................................... 271

☆ 9.8 口語化的「對數」函數................................. 272

☆ 9.9 奇妙的對數微分 ....................................... 277

☆ 9.10 【典範範例】集錦...................................... 279

【★★★典範範例9-01】[ 研究與分析]..................... 279

【★★★典範範例9-02】................................. 282

【★★★典範範例9-03】................................. 284

【★★★典範範例9-04】................................. 285

【★★★典範範例9-05】................................. 288

【★★★★典範範例9-06】[ 研究與分析]................... 290



第10章 積分究竟是什麼？ 294

☆ 10.1 積分的究竟思維 ....................................... 296

☆ 10.2 積分在數學上的意義................................... 298

☆ 10.3 積分有什麼用呢？..................................... 302

☆ 10.4 【典範範例-1】介於直線之間的面積..................... 305

☆ 10.5 【典範範例-2】介於曲線之間的面積..................... 310

☆ 10.6 積分的進階思維 ....................................... 313

☆ 10.7 多重積分的意義 ....................................... 316

☆ 10.8 常數的一次積分是什麼意思？........................... 319

☆ 10.9 常數連續兩次的積分是什麼意思？....................... 322

☆ 10.10 常數經過三次的積分有什麼意思？....................... 324

☆ 10.11 如何求兩曲線間的面積................................. 327

☆ 10.12 【典範範例】集錦...................................... 329

【★★★典範範例10-01】................................ 329

【★★★典範範例10-02】................................ 331

【★★★典範範例10-03】................................ 332

【★★★典範範例10-04】................................ 334

【★★★典範範例10-05】................................ 335

【★★★典範範例10-06】................................ 337



第11章 用白話文講對數與指數的積分 340

☆ 11-1 什麼是指數與自然指數................................. 342

☆ 11.2 指數的基本運算與積分................................. 343

☆ 11.3 還是一條不死的龍..................................... 344

☆ 11.4 口語化的指數與對數關係............................... 347

☆ 11.5 對數與指數的積分與特殊意義........................... 350

☆ 11.6 指數與對數的常用積分公式............................. 352

☆ 11.7 【典範範例】集錦...................................... 353

【★★★典範範例11-01】[ 研究與分析].................... 353

【★★★典範範例11-02】[ 研究與分析].................... 356

【★★★典範範例11-03】[ 研究與分析].................... 358

【★★★典範範例11-04】[ 研究與分析].................... 360

【★★★典範範例11-05】[ 研究與分析].................... 362

【★★★★典範範例11-06】[ 研究與分析].................. 364

【★★★★典範範例11-07】[ 研究與分析].................. 367

【★★★★典範範例11-08】[ 研究與分析].................. 369

【★★★★典範範例11-09】[ 研究與分析].................. 371

【★★★★典範範例11-10】[ 研究與分析].................. 373

【★★★★典範範例11-11】[ 研究與分析].................. 375



第12章 卓越的三角函數積分 378

☆ 12.1 三角學是大自然的祕密................................. 380

☆ 12.2 從天文到地理 ....................................... 381

☆ 12.3 三角函數的數值觀念................................... 382

☆ 12.4 熱門的手機是三角函數的產品........................... 384

☆ 12.5 三角函數的積分式..................................... 386

☆ 12.6 【典範範例】集錦...................................... 387

【★★★典範範例12-01】[ 研究與分析].................... 387

【★★★典範範例12-02】[ 研究與分析].................... 390

【★★★★典範範例12-03】[ 研究與分析].................. 393

【★★★★典範範例12-04】[ 研究與分析].................. 396

【★★★★典範範例12-05】[ 研究與分析].................. 400

【★★★★典範範例12-06】[ 研究與分析].................. 406

【★★★★典範範例12-07】[ 研究與分析].................. 409



第13章 特異的奇函數與偶函數 412

☆ 13.1 不可不知的函數對消作用............................... 414

☆ 13.2 奇函數的定義 ....................................... 415

☆ 13.3 sin 函數是奇函數還是偶函數？.......................... 416

☆ 13.4 偶函數的定義 ....................................... 417

☆ 13.5 由一半而推知另一半................................... 419

☆ 13.6 奇函數與偶函數的特異功能............................. 421

☆ 13.7 【典範範例】集錦...................................... 424

【★★★典範範例13-01】[ 研究與分析].................... 424

【★★★典範範例13-02】[ 研究與分析].................... 427

【★★★★典範範例13-03】[ 研究與分析].................. 429

【★★★★典範範例13-04】[ 研究與分析].................. 430

【★★★★典範範例13-05】[ 研究與分析].................. 433



第14章 高階的面積分與體積分 436

☆ 14.1 積分的進階思維 ....................................... 438

☆ 14.2 不規則平面面積之處理................................. 442

☆ 14.3 如何求兩曲線間的面積................................. 444

☆ 14.4 如何計算物體之體積................................... 446

☆ 14.5 圓盤法(circular-disk method)......................... 449

☆ 14.6 柱殼法(cylindrical shell method)..................... 453

☆ 14.7 【典範範例】集錦...................................... 456

【★★★典範範例14-01】................................ 456

【★★★典範範例14-02】................................ 457

【★★★典範範例14-03】................................ 459

【★★★典範範例14-04】................................ 461

【★★★典範範例14-05】................................ 463

【★★★典範範例14-06】................................ 465

【★★★典範範例14-07】................................ 467

【★★★典範範例14-08】................................ 469

【★★★★典範範例14-09】.............................. 471



第15章 進入虛幻世界 474

☆ 15.1 虛數就是「虛幻的數」嗎？............................. 476

☆ 15.2 在實數中無解的問題................................... 478

☆ 15.3 虛數讓任何「難題」都可以找到答案..................... 479

☆ 15.4 宇宙中最大的數系..................................... 481

☆ 15.5 複數平面的運算 ....................................... 483

☆ 15.6 複變數的微分 ....................................... 485

☆ 15.7 複變數的積分 ....................................... 486

☆ 15.8 【典範範例】集錦...................................... 487

【★★★典範範例15-01】................................ 487

【★★★典範範例15-02】................................ 487

【★★★典範範例15-03】................................ 488

【★★★典範範例15-04】................................ 489

【★★★★典範範例15-05】[ 研究與分析].................. 490

【★★★★典範範例15-06】[ 研究與分析].................. 491

【★★★★典範範例15-07】[ 研究與分析].................. 493

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序言(一)



是超越他人也超越自己



　　內兄張之嵐(錚)博士自幼聰敏過人，思考事物總在「框架」之外。對於微積分的研究包含函數、極限、微分、積分甚至是複數等，他總是有其獨特而深奧的思維方式。沒有數學DNA 的考生和學子們，數學常是他們一生學途中的大業障。



　　上了大學，若是不需繼續學習數學或微積分，他們則視此為學業道途上的一大解脫。根據內兄的教學研究與方式，他以一貫的平易而近人的方式，論述《微積分》的根源，闡述《微積分》的道理，配合?大量而詳盡的圖表，讓每一位讀者有?玲瓏透剔、洞燭天機的感覺。這本書在寫法上，超脫了一般教科書教條式的寫法。



　　不再是刻板的、生硬的，或是毫無旨趣的「教條式」的教學。因為「教條式」的教學所導致的結果，必然就是教條式的「記憶」與教條式的「背誦」，而如果以「記憶」與「背誦」的方式學習《微積分》，那學習的過程將是一種苦難，而其所造成的後果也將是一種災難。



　　學習《微積分》需要的是說得清楚、講得明白的道理。唯有在真正明白其中的「微言妙語」，才能明晰透徹地解悟《微積分》的大道理，這時《微積分》的世界也會是世上最美麗的一種世界，也唯有如此，才能真正融入我們的生活方式，從而體悟宇宙的奧妙與人世間智慧的真理。



　　至於《微積分》究竟在探討的是什麼真理？究竟包涵有什麼驚人的智慧，又如何能代表偉大的生命曲線？這種種問題的答案，都在書中做了最平易也最詳盡的論述。配合各式精細的圖表，希望讀者能夠深入而詳盡地閱讀這本書中的每一個章節，進而體認《微積分》與生命科學是息息相關、生生不息的。研讀內兄的《微積分》，將會習得「超越」傳統的方法，並得以「超越」他人，而更進一步的是超越自己，這將是各位無比的的福祉與福報。是故，爰以為序。

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