第1章 十八世紀的歐洲數學

1.1 從歐拉看西歐十八世紀數學

1.2 白努利家族

1.3 分析方法的開疆闢土

1.3.1 無窮級數

1.3.2 常微分方程式

1.3.3 偏微分方程式

1.3.4 複變函數論

1.4 沙龍與科學院

1.5 數學專業化：歐拉 vs. 拉格朗日

1.6 微積分教科書的問世

第2章 十九世紀數學（上）

2.1 高斯橫跨十八∼十九世紀

2.2 蘇菲?熱爾曼

2.3 數學建制化：以巴黎工藝學院為例

2.4 法國高等教育機構

2.5 數學建制的國際化

2.6 國際化的數學期刊

第3章 十九世紀數學（下）

3.1 三大數學中心：巴黎、柏林與哥廷根

3.2 柯西 vs. 外爾斯特拉斯：嚴密性與分析算術化

3.3 索菲亞?卡巴列夫斯基：哥廷根大學第一位女數學博士

3.4 非歐幾何學、複變分析、抽象代數及線性代數

3.4.1 非歐幾何學

3.4.2 複變分析

3.4.3 抽象代數

3.4.4 線性代數

3.5 集合論、數學基礎危機、公設方法

3.6 機率統計的歷史一瞥

第4章 廿世紀數學如何刻劃？

4.1 廿世紀數學史學概述

4.2 艾咪?涅特：為代數學開創全新進路的大師

4.3 拓樸學的興起

4.4 測度論與實變分析的現身

4.5 集合論與數學基礎

4.6 希爾伯特23個問題

4.7 費爾茲獎

4.8 電子計算機的歷史剪影

4.9 科學的專業與建制，以及民間部門的角色：美國 vs. 蘇聯

第5章

餘音裊裊：數學知識的意義與價值



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《數之軌跡》推薦序于靖



　　很高興看到洪萬生教授帶領他的學生們寫出大作《數之軌跡》。這是一本嘆為觀止，完整深入的數學大歷史。萬生耕耘研究數學史近四十年，功力與見識足以傳世。他開宗明義從何謂數學史？為何數學史？如何數學史？講起。巴比倫，埃及，希臘，中國，印度，阿拉伯，韓國，到日本。再從十六世紀到二十世紀講西方數學的發展與邁向巔峰。《數之軌跡》當然也著力了中國數學與希臘數學的比較，中國傳統數學的興衰，以及十七世紀以後的西學東傳。



　　半世紀前萬生與我結識於臺灣師範大學數學系，那時我們不知天高地厚，雖然周圍沒有理想的學術氛圍，還是會作夢追尋各自的數學情懷。我們一起切磋，蹣跚學習了幾年，直到1976暑假我有機會赴耶魯大學博士班。1980年我回到中央研究院數學所做研究，那時萬生的牽手與我的牽手都在外雙溪衛理女中執教，我們有兩年時間在衛理新村對門而居，茶餘飯後沈浸在那兒的青山秀水，啟發了我們更多的數學思緒。1982年我攜家人到巴黎做研究才離開了外雙溪。後來欣然得知萬生走向了數學史，1985年他決定赴美國進修，到紐約市立大學跟道本周(Joseph Dauben)教授專攻數學史。



　　1987（或1988）年，我舉家到普林斯敦高等研究院做研究。一個多小時的車程在美國算是「鄰居」，到紐約時我們就會去萬生家拜訪，談數學，數學史，述及各自的經歷與成長。1988年暑假我回臺灣之前，我們倆家六口一起駕車長途旅遊，萬生與我擔任司機，那時我們都不到四十歲，從紐約經新英格蘭渡海到加拿大新蘇格蘭島，沿魁北克聖羅倫斯河，安大略湖，從上紐約州再回到紐約與普林斯敦。一路上話題還是會到數學與數學史。



　　我的數學研究是在數論，是最有歷史的數學，來龍去脈的關注自然就導引數論學者到數學史。在高等研究院那年，中午餐廳裡年輕數論學者往往聚到韋伊(Andre Weil)教授的周圍，聽八十歲的他講述一些歷史。韋伊是二十世紀最偉大數學家之一，數學成就之外那時已經寫了兩本數學史專書：數論從Hammurabi到Legendre，橢圓函數從Eisenstein 到Kronecker。



　　1990年代，萬生學成回到臺灣師範大學，繼續研究並開始講授數學史。二十餘年來他培養指導了許多研究生，探索數學史的各個時期及面向，成績斐然。這些年輕一代徒弟妹：英家銘，林倉億，蘇意雯，蘇惠玉等，也都參與了撰述這部《數之軌跡》。特別是在臺灣推動HPM數學史與數學教學，萬生的School做了許多努力。



　　在這本大作導論中，萬生指出他的數學不只包含菁英數學家(elite mathematician)所研究的「學術性」內容，而是涉及了所有數學活動參與者(mathematical practitioner)。因此《數之軌跡》並不把重點放在數學歷史上的英雄人物，而著眼於人類文明的發展過程中，數學的專業化(professionalization)與制度(institutionalization)，乃至於贊助(patronage)在其過程中所發揮的重要功能。



　　在《數之軌跡：再度邁向顛峰的數學》第4章裡，《數之軌跡》試圖刻劃二十世紀數學。萬生選擇了四個子題來描述二十世紀前六十年的數學進展：艾咪?涅特，拓樸學的興起，測度論與實變分析，集合論與數學基礎。這當然還不足以窺二十世紀前五十年數學史的全貌：像義大利的代數幾何學派，北歐芬蘭的複分析學派，日本高木貞治的代數數論學派，與抗戰前後的中國幾何學大師陳省身，周緯良，都有其數學史上不可或缺的地位。從二十世紀到二十一世紀，純數學到應用數學，發展更是一日千里。《數之軌跡》選了兩個英雄主義的面向：「希爾伯特23個問題」、「費爾茲獎等獎項」，來淺顯說明二十世紀數學知識活動的國際化。這些介紹當然不能取代對希爾伯特問題或費爾茲獎得獎工作的深入討論。最後寫科學的專業與建制，以及民間部門的角色：美國 vs. 蘇聯。這是很有意思的，我希望數學史家可以就這個題目再廣泛的搜集資料，因為在1960年代之後，不同的重要數學研究中心在歐洲美國出現，像法國IHES，德國的Max Planck，Oberwolfach等。到了1990年世界各地，包括亞洲（含臺灣，中國），數學研究中心更是像雨後春筍般冒出。這是一個很有意義的數學文化現象。另一方面，隨著蘇聯解體，已經不再是美國 vs. 蘇聯，而是在許多國家百花齊放。從古到今，數學都是最Universal！



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