第一章　數學的形成

1、始創於伏羲與女媧——結繩計數與尺規的應用.................... 14

2、泥板上的文字——古巴比倫數學的開端.......................... 17

3、寫在莎草紙上的數學——古埃及的數學.......................... 21

4、阻止戰爭的日食——泰勒斯和沙羅演算法........................ 25

5、萬物皆數的慘案——畢達哥拉斯學派............................ 28

6、源自印度的阿拉伯數字——印度數學的十進位.................... 31

7、數學與宗教的結合——印度數學的《繩法經》.................... 34

8、齊桓公與九九歌——春秋時期的數學............................ 38

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第二章　數學的分化

9、飛矢不動——埃利亞學派的詭辯................................ 44

10、墓誌銘上的難題——代數學的開創............................. 47

11、賈憲與楊輝三角——二項式係數展開圖......................... 50

12、平面幾何學的集大成——《幾何原本》....................... 54

13、周公與商高的對話——《周髀算經》與畢氏定理................. 58

14、算術基本定理——初等數論的誕生............................. 62

15、來自星星的學科——希臘三角學的發展......................... 65

16、米諾斯國王子的墳墓——古希臘三大幾何作圖問題............... 68

17、《海島算經》——中國最早的測量數學著作..................... 71

18、震驚世界的計算方法——測量地球周長......................... 74

19、巴爾幹半島幾何的最後閃光——圓錐曲線....................... 77

20、古希臘數學的滅亡——希帕蒂亞之死........................... 80

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第三章　中世紀和文藝復興時期的初等數學

21、保留數學文明的火種——伊斯蘭數學........................... 86

22、代數學之父——阿爾．花拉子米............................... 89

23、黑暗時代的數學曙光——斐波那契的兔子和代數................. 92

24、建築師也是數學家——投影幾何的誕生......................... 95

25、義大利的數學競賽——三次方程的解法......................... 98

26、無法調和的科學和神學——帕斯卡的悲劇...................... 102

27、密碼專家和他的未知數——符號系統的產生.................... 106

28、虛無縹緲的數字——虛數與複數域............................ 109

29、笛卡兒家的蜘蛛——直角座標系的誕生........................ 112

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第四章　分析學的發展期

30、不斷發展的數學概念——函數和映射.......................... 118

31、對信號和波的研究——傅立葉分析的由來...................... 122

32、高等數學的起點——微積分的誕生............................ 125

33、眾人拾柴火焰高——微積分基礎的完善........................ 129

34、關於微積分的嘗試——威力巨大的微分方程.................... 133

35、無窮多個數相加是多少——級數的發展........................ 136

36、一根繃緊的弦如何振動——偏微分方程的發現.................. 140

37、對微積分的修補——實變函數................................ 144

38、複數也能做變數——複變函數的誕生.......................... 147

39、始創於最速降線——變分法的出現............................ 150

40、抽象的映射有什麼特點——泛函分析的誕生.................... 153

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第五章　幾何學與撲學的發展

41、「以算代證」證明命題——解析幾何的誕生.................... 158

42、可以變形的圖形——仿射幾何................................ 161

43、用微積分來解決幾何問題——微分幾何的誕生.................. 164

44、用代數研究幾何——代數幾何的歷史.......................... 168

45、第五公設的難題——非歐幾何的誕生.......................... 171

46、幾何學的統領——廣義黎曼幾何.............................. 175

47、海岸線有多長——分形幾何學................................ 178

48、七橋問題和四色定理——不在乎形狀的拓撲學.................. 181

49、用點的集合研究拓撲學——點集拓撲學........................ 185

50、一百萬美元的問題——代數拓撲學............................ 188

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第六章　數論的發展

51、初等數論的核心——整除和同餘理論.......................... 194

52、幾千年的努力——尋找質數的規律............................ 197

53、韓信點兵——中國剩餘定理.................................. 200

54、這個猜想沒那麼重要——哥德巴赫猜想........................ 203

55、用分析學研究數論——解析數論的誕生........................ 206

56、費馬的難題——代數數論的誕生.............................. 209

57、不能用代數方程解出來的奇怪數——超越數論.................. 213

58、懷爾斯的最後一擊——費馬大定理的解決...................... 216

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第七章　代數學的發展

59、輸油管線的問題——最小二乘法.............................. 222

60、計算線性方程組的方法——高斯消去法........................ 225

61、天元術和增乘開方法——一元高次方程的列式和求解............ 229

62、朱世傑和四元術——四元四次方程組的求解.................... 233

63、來自幻方的數學——矩陣和行列式............................ 237

64、基、向量和空間——線性代數................................ 241

65、多項式代數的用途——幾何定理的機器證明.................... 245

66、方程的根有什麼特點——奇思妙想的近世代數.................. 248

67、近世代數的三個研究物件——群、環和域...................... 252

68、代數的集大成者——泛代數.................................. 256

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第八章　概率與統計學的發展

69、賭徒的難題——古典機率的誕生.............................. 262

70、用函數來表示可能性的大小——機率分布...................... 266

71、柯爾莫哥洛夫的貢獻——機率論公理化........................ 269

72、對隨機現象的研究——隨機過程中的瑪律可夫過程和時間序列分析... 273

73、機率在生活中的應用——數理統計學.......................... 277

74、如何選取研究物件——抽樣的方法............................ 281



第九章　其他數學分支的發展

75、引發第三次數學危機——公理化集合論的產生.................. 288

76、長度、面積和體積的推廣——測度論是什麼.................... 292

77、追根問底的數學——數理邏輯是什麼.......................... 295

78、與電腦密切相關——組合數學是什麼.......................... 298

79、多少歲的人算老人？——模糊數學是什麼...................... 301

80、數學在工程上的應用——計算數學是什麼...................... 304

81、用數學做出最優的決策——運籌學的發展...................... 307

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第十章　著名的數學家和數學團體

82、與康熙有私交的數學家——萊布尼茲.......................... 312

83、偉大多產的數學家——歐拉.................................. 316

84、微分幾何之王——陳省身.................................... 320

85、不為政治折腰的數學家——柯西.............................. 324

86、英年早逝的天才——伽羅華.................................. 328

87、數學界的無冕之王——希爾伯特.............................. 332

88、悖論的最終解決——哥德爾.................................. 337

89、數學、物理和電腦全才——馮．諾伊曼........................ 341

90、住在原始森林裡的天才——佩雷爾曼.......................... 345

91、華人數學之光——陶哲軒.................................... 349

92、ＡＢＣ猜想——望月新一.................................... 353

93、愛因斯坦的數學老師——閔考夫斯基.......................... 357

94、遲到的學生——丹齊格...................................... 361

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第十一章　數學學派、數學大獎與數學競賽

95、世界數學的搖籃——哥廷根數學學派.......................... 368

96、史達林的祕密武器——前蘇聯數學學派........................ 372

97、新興的數學中心——普林斯頓數學學派........................ 376

98、國際數學三大獎——菲爾茲獎、沃爾夫數學獎、阿貝爾獎........ 380

99、群星璀璨——數學各分支重要獎項............................ 383

100、青少年的數學戰場——國際數學奧林匹克競賽................. 387

前言



　　數學在人類茹毛飲血的遠古時代就誕生了。在從事各類生產活動過程中，人類學會了用抽象的符號來度量數量和計算，用簡化的圖形來描繪事物和表達，以致於在幾千年前就累積了很多數學知識，並且有意識地使用。



　　做為人類文明的結晶，數學和人類歷史一樣不斷發展，成為每一個階段的人們認識世界和改造世界最有力的工具之一。毫不誇張地說，人類對數學掌握的程度，決定了人類文明的層次。



　　在科學技術高度發達的今天，數學在所有學科的發展中，成為披荊斬棘的先行者，任何一門自然科學和相當一部分社會科學，都大量使用數學學科的成果和研究方法才得到發展，成就了現代文明。與此同時，數學分類越來越多，內容也越來越抽象，甚至只能用簡略的符號進行形



　　而上的表達。不可否認，世界上絕大多數人的認知仍然難逃具象的範圍，難以理解抽象的符號和其中表達的深刻含意，加上數學的研究和發展已經遠遠超過日常生活的範疇，絕大多數人也無法窺測和理解數學的宏大和瑰麗。這就使社會上出現了「數學是否應該退出大學考試」和「數學無用論」的爭論。



　　為了改變很多人對數學的不理解，筆者按照時間順序挑選並撰寫了關於數學的一百個故事。這一百個故事涵蓋了傳說中的遠古時代、古希臘時期、羅馬帝國時期、文藝復興時期、近代和現代，著重講述了數學的每一個知識如何誕生，如何發展，如何分化，又如何引出了更多的數學概念，在講述上避免抽象的陳述，力求還原當時人類對數學的思考。這樣，讀者就可以瞭解和把握每一個數學概念誕生的原因和發展的脈絡。同時，這一百個故事也覆蓋了數學中幾乎所有的主要學科，早期的計數、算術、測量和數論，中期的分析學、代數學和幾何學、後期研究物件的分化和研究方法交叉使用誕生的代數拓撲學、微分幾何學等在本書中都有涉及。



　　在本書的最後，筆者寫到了一些著名的數學家，他們在數學史上熠熠生輝，但在數學圈之外卻很少為人所知。這些數學家來自各個年代和不同國家，有著不一樣的人生和精彩的故事，但相同的是，他們都為數學和人類文明的發展做出了不朽的貢獻，努力實現人類在數學上的宏願—超越人類極限，做宇宙的主人。



　　本書適合對數學有興趣的專業和非專業人士，不論是尋找課外書以開闊視野的中小學生、對數學有大致瞭解，從事各類工作的成人、還是數學學習者和數學史研究人員，閱讀本書無不適宜。而更多先進的研究【方法、抽象的描述和現代數學的最新進展，由於篇幅有限、內容過於抽象、小眾和筆者水準有限等原因，就不在本書中贅述。



　　筆者真心希望每一位讀者都能在本書中獲取到有益的知識。在閱讀本書後，讀者如果能燃起對數學的熱情，甚至投身數學研究事業做出一番貢獻，那更是善莫大焉。



自序



　　自畢業以來，筆者一直從事課外輔導培訓工作，講授從國小到高中各個年級數學和奧林匹克數學競賽的課程，同時為各類數學報刊、雜誌和研究所培訓學校編撰試題。從事教育事業的十年來，筆者認識了很多熱愛數學的學生，他們對數學的熱情和對未知的探索精神讓我深深感動，但更多的卻是熱衷各種網路遊戲、手機遊戲，只想著應付數學考試的學生。



　　這種現象讓我想起了小時候，那個年代手機和網路是新鮮玩意兒，條件好的家庭可能會配置一台價格昂貴的電腦，而大多數條件普通的家庭甚至買不起任天堂的紅白機，如果能到遊戲店買幾個遊戲幣都是很奢侈的。在那種物質並不充裕年代，數學題就成為了我們的玩具，很多同伴不僅不畏懼解題的困難，甚至以解題為樂趣。而這種風氣在成年人圈中更甚，說起哪個孩子數學好，很多家長都會非常羨慕，因為在成年人的心裡，數學好和聰明是畫等號的，被評價數學好，是對自己孩子最大的褒獎。



　　筆者在大學讀了數學系，發現之前學習的大多數數學知識都不能稱為數學，只能勉強稱為算術。真正的數學的宏大、抽象和深刻，讓筆者相見恨晚，又慶幸自己在挑選科系上做出正確的選擇，於是把大多數時間都投入到數學學習中，力求在短短的幾年接受人類幾百年的成果。雖然在畢業以後，筆者並沒有從事數學研究而選擇了數學教育工作，但始終關注著數學界的進展，並和從事數學研究的同學保持著聯繫。而這些，都是源自對數學的熱愛。



　　這種熱愛在現在的很多學生看來似乎不可理喻：明明有那麼多好玩的東西，為什麼非要在艱深抽象的數學上「浪費」時間？而我很清醒地知道，數學就像一座高峰，只有不畏艱難險阻到達峰頂，才能俯瞰美麗的景色，而他們在山腳下徘徊，自然不明白數學的樂趣。他們自然也無法理解，數學對思維的訓練作用，筆者能在業餘時間快速地學習和掌握網頁程式設計、actionscript 動畫程式設計和android 開發等電腦技能，都是拜系統的數學學習和訓練所賜。



　　在講課之餘，筆者為多家圖書公司撰寫並出版了多本社會科學類、生活類等書籍，這些工作看似與數學教育和數學研究風馬牛不相及，只是一個興趣愛好，滿足筆者看到文檔變成鉛字的虛榮心。然而在二○一四年年中，筆者接到紅螞蟻公司編輯韓老師的邀請，撰寫《關於數學的100 個故事》。這是一個把我的工作、寫書的副業和對數學的熱愛結合在一起的一項任務，也是向大眾普及數學的一項有益的工作，於是我欣然接受。



　　在寫作中，筆者經常沉浸在浩瀚的數學世界不能自拔。本書雖然不能稱為嘔心瀝血之作，但筆者至少也盡心盡力，傾注了全部熱情。看到書的完成，就像看到自己孩子誕生一樣，真心希望本書與讀者盡快見面。

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