第一題 請問總共有幾個螺帽？

第二題 大中小的巧克力

第三題 碼頭的繫船柱



第一章 不要被題目嚇到，其實它們都是相同大小

相同面積

第四題 公車的窗戶

第五題 媽媽的起司切法



第二章 聚焦在不會改變的地方，「真相」就會自然浮現

不變量的問題

第六題 6個孩子與6個框

第七題 黑板上的0與1

第八題 五個紙杯



第三章 當鴿子多於於籠子，會發生什麼情況呢？

鴿籠原理

第九題 東京的人口與髮量

第十題 垂直、水平、斜線的數字總和



第四章 將整個世界分成偶數和奇數

奇偶性問題

第十一題 7顆黑白棋

第十二題 硬幣遊戲

第十三題 轉動骰子



第五章 從一個地點到另一個地點，直線是距離最近的路線

三角不等式

第十四題 橫濱中華街

第十五題 橫越十字路口的走法



第六章 以不同的條件決定出答案

結合需要的條件

第十六題 蛋糕與巧克力飾片

第十七題 4種繪圖工具



第七章 難以相提並論的事物也能夠快速做出比較

比較問題

第十八題 古代貨幣

第十九題 3111及1714



第八章 多米諾骨牌效應理論

數學的歸納法

第二十題 不服輸的倆人



第九章 解題的樂趣在這裡

本書的畢業考題

第二十一題 約翰與瑪麗的身高

第二十二題 地磚的邊角



最終章 促成本書的題目

最初的問題

第二十三題 磁磚上的角度



本書誕生的契機——以此作為後記

作者序1.



焦急的週六

佐藤雅彥



　　在一個週六早晨，我難得感到心急，因為研究會即將在下午一點開始，而我卻還毫無準備。這個研究會源自我所隸屬的慶應義塾大學佐藤研究室，是一個專門鑽研數學知識的研究會。從2009年開始，幾位喜歡數學的佐藤研究室畢業生，總是以隔週一次的頻率，到我位於築地的辦公室集合。而這個令我焦急的週六就發生在2015年的4月。



　　說來慚愧，我之所以感到焦急，其實是因為我沒有做功課。雖然活到這把年紀，我早就揮別有功課的歲月，但是在這個研究會，每一位參加者都需要提交功課。不過我們的功課並不是解題，而是「出題」。



　　坦白說，那天我偷偷抱著不純的動機，想要出一道能夠震驚四座的題目。大家再四個小時就要來了，我內心不禁越來越焦急。在研究會快開始之前再做功課——那段時間的我，每次都用這種臨陣磨槍的方式準備題目。週六早晨通常是讓人擺脫一整週忙碌公事的時光，而我卻給自己訂定了這種特別的束縛。



　　我急著尋找救命稻草，不斷翻閱手邊任何能找到的數學問題集或各種入學考的考古題，希望可以從中獲得一些靈感。在這些救命稻草裡面，我看到一題求幾何圖形角度的經典問題。這個問題並沒有什麼需要特別著墨的數學概念。我們這個研究會特別注重數學上的邏輯思考，每次遇到「數字奇偶性」、「鴿籠原理」、「不變量」等概念時，大家都會發出一陣歡呼，在一般人眼裡算是相當奇特的團體。



　　要對這樣的成員們提出這種國中入學考會出現的題目，實在太不合適了……就在這時，我陡然抓起自己愛用的Canon S120數位相機，衝到浴廁裡。然後立刻把拍下的照片傳送到印表機列印出來，接著拿出尺畫出直線，標上文字（如照片1）。後來我曾查看這張照片的拍攝資訊，上面顯示的時間為「2015年4月25日9:25:44」。當天的研究會是下午一點開始，還真是貨真價實的臨時抱佛腳呢。



　　我照片裡拍的是廁所牆壁上的磁磚。當我看到某間國中的這道入學考試題時，不知為何突然想將問題放到實際的磁磚上看看會有什麼結果。雖然這不是什麼驚人的點子，但那時的我一心只想趕在期限前交出功課，所以立刻就採取行動。當時我也有從正面拍攝磁磚，不過直覺告訴我，這張有點斜度的照片似乎比較好，於是我便選擇使用這張照片。嚴格來說，照片上的磁磚實際尺寸當然會有些不同，並不是真正的正方形，但我沒有特別在意。之後回頭思考時，我發現這裡面藏著一個重大關鍵。



　　經過半天的時間，大家總算結束沈浸於數學世界的一日時光。我在同學們回家後，獨自坐在辦公室的那間房間裡，回顧早上急忙想出的問題，以及大家看到題目時的反應。我終於有時間能夠好好思考自己想出的這道題目。



　　「教授，這題很難呢。」



　　「問題本身很簡潔，卻沒辦法立刻想出解法。」



　　我想起有些同學曾這樣說……但他們明明一拿到試卷就立刻算出答案了。沒有任何人在意磁磚的歪斜，反而立刻進入分析模式，全心投入解題，令我留下十分深刻的印象。



　　我把使用照片的試題跟原始入學考題放在一起比較。這兩個問題的本質並無不同，而且原始題目上的圖形甚至更精準，畢竟照片上的磁磚有遠近感，圖形本身也有些微變形。然而，同學們卻能夠忽略這些扭曲的部分，一眼看出問題的關鍵之處。除此之外，仔細回想我當初以為有點扭曲的照片會加深難度的想法。為什麼會有這樣的心理作用呢？或許這只是我個人的疑惑，但我開始更深入地探究這個問題。



　　「知覺恆常性」是人類的一種重要認知能力。面對相同的目標物，我們的觀看畫面（＝映照在視網膜上的圖像）會隨著觀看方向、距離、光線不同而變化。然而，我們對於在視覺上出現變化的物體，仍會對它們的形狀、顏色保持恆定不變的認知，這就是所謂的知覺恆常性。



　　我靈光一閃的做法—也就是拍攝廁所裡的磁磚，並直接在扭曲的圖形上留下線條跟文字的圖像，最後映照到解題者眼中時，便啟動他們體內的知覺恆常性。換句話說，他們看到問題後，無意識先吸收到腦內，然後自行修正圖片上的扭曲，再重新把結論告知自己的大腦。當他們看到真實的磁磚照片時，已自行在心中畫出理想的正方形格子，將數學問題映照在上面。這樣說或許有些誇張，不過他們可說是「已經將問題內化到自己體內」。



　　我長年投入研究與開發數學的教學方法，成果包含從兒童教育節目《藏在日常生活中的數理曲線DVD-book》、《PythagoraSwitch》另外衍生的特別節目《大人的PythagoraSwitch》，以及《用眼睛來算數》這套使用於實際教學時的影片教材等等。不過，這些都是以影片做為媒介，為什麼我從來沒透過書籍，也就是以文字為主的媒體來推廣數學教育呢？不，應該說我為什麼從來沒想過要這麼做呢？自從我用扭曲的磁磚照片設計出這道數學題後，我終於知道原因了。



　　大部分的數學文章，都會讓人看不懂問題到底在說什麼。



　　大部分的數學文章，都會讓人產生一種壓迫感。



　　這是一直困擾著數學教育的兩大難題，阻礙著學習者前進的步伐。許多人還來不及感受到數學的趣味就碰到瓶頸，而且往往不敢說出「我看不懂問題在說什麼」，也無法想像除了履行學習義務以外，會有人主動湧起「好想解開這道數學題！」的心情。但是，這道廁所磁磚的數學題讓我忽然頓悟，假如把數學問題與現實世界結合──



　　只看一眼，就能理解問題的用意；



　　只看一眼，就會湧現解題的動力。



　　於是，在研究會從2009年開始運作後的第六年，我們終於找到目標方向。隨後又經過六年，我們在2021年完成了這本書。



　　伴我一起走過這條漫長數學路的大島遼及廣瀨隼也，他們都是慶應義塾大學佐藤研究室最後的研究生。兩人皆以滿分成績考進這個專門鑽研數學的研究室，跟隨著我學習，轉眼間就過了十五個年頭。



　　近幾年來，這個企劃案可說都是由他們在帶領執行。大島、廣瀨，我們終於做出結果了！我們三人花費大量時間，埋頭在五花八門的數學概念中摸索，這一切的努力，終於在最後以如此傲然的姿態誕生到我們所在的世界上。對於他們兩人為此書付出的真心誠意，我深表感謝。



　　另外也要感謝岩波書店的濱門麻美子小姐鼎力相助，我們才得以用如此具體的形式呈現數學的樂趣。濱門小姐不只是一位編輯，更是我們研究會裡資歷將近十年的成員。我們是互相提出問題，一起絞盡腦汁思考解法的同志。若非濱門小姐心志堅定地想做出一本能永遠受人喜愛的書籍，這本書肯定沒有機會問世。她不僅陪伴著我們一路走來，也一直靜靜守護著我們三人，真的非常感謝她。



　　除此之外，我也要謝謝為這本數學書設計出可愛裝幀的貝塚智子小姐。如大家所見，貝塚小姐設計的版面十分簡潔，也藏著能夠在閱讀時帶來喜悅感的巧思。貝塚小姐不僅協助書籍的裝幀工作，也和我們一起解題，參與整本書的構思過程。



　　歸功於大家的努力，我們才能推出這本讓許多讀者感到平易近人的作品，我由衷感謝他們。貝塚小姐是慶應義塾大學佐藤研究室最初的研究生，我能夠在佐藤研究室最初及最後的研究生陪伴下完成此書，實在是非常幸福。



　　希望這本書可以帶領許多人認識數學真正的樂趣，並且因為本書度過一段充實又快樂的時光。身為本書的作者，這將是我的無上喜悅。



作者序2.



當紙杯與數學產生連結

廣瀨隼也



　　我手上原本要用於本書的候補題目堆積如山。我們一致認同是好題目的這些數學題，既沒有照片也沒有示意圖，只有單純的文字敘述。



　　參與孕生本書的研究會時，我們每次都要提出新的問題。其實出題比解題難上數倍，因為需要考量許多條件，例如題目中包含哪些數學上的邏輯、作為一道題目是否有疏漏、題目本身是否吸引人等等。當我們快要定案本書的題目時，我又回顧了一遍前面提到的那些候補題，反思我們之所以認為這些題目很有趣的理由。



　　每當這個時候，我的腦海中必定會浮現的原因，就是「以生活化的方式陳述問題，才能讓數學更平易近人而有趣」。當我們了解問題並試圖去解答的時候，那些浮現在腦中的紙杯、地上的方框、人行道地磚等等物件，突然變成解題者與數學之間的橋樑，活靈活現了起來。藉由這些實際存在的物品，把數學概念化為具體的想像，對我來說，這個過程既好玩又令人陶醉。



　　我們幾人在訂定本書目標，設計一道又一道的題目之前，早已在東京築地舉行過許多次的數學研究會。我們不是從一開始就在學習設計問題，而是當有人發現好玩的數學題，大家就一起埋頭投入解題的世界。每次我都會在嘗試與失敗中感受到逐漸接近解答的喜悅，並且因為新的想法而拓展視野，為此充滿快樂。



　　現在，我們試著將那段沉醉於數學的時光，藉由現實中的紙杯、人行道的地磚等等物品，以書籍這個媒介呈現「讓人忍不住想解的數學題」。若是各位讀者也能從這本書籍中，體驗到令我們深深著迷的感受，我會非常開心。



作者序3.



如何設計問題——「流暢思考」的體驗設計

大島遼



　　我們在十二年前成立研究會時，從來沒想過會有機會出版這本書。



　　在這本《忍不住想解的數學題》裡，為了讓讀者看一眼就能理解題目想表達的意思，並且解開問題，我們不斷摸索如何設計題目以及文字講解的方式。



　　我們挑選問題的標準，是基於題目本身有無明確的數學概念，以及該題目能否引領讀者感受到趣味性，並在篩選出問題後反覆重新設計。



　　這些經過重新設計的題目，力求幫助讀者一看到跨頁上的圖片資訊，便能輕易在腦中建立畫面，順利解開抽象化的問題。為此，照片中的物品都是擁有具體形象、平時常見的東西，例如磅秤、螺帽、紙杯、骰子等等，讓每個人都能在腦內模擬操作。基於相同考量，我們也盡可能在拍攝時避免因構圖及光線，造成照片過度失真。不僅如此，書中所有的圖片及文章，也都是先經過排版才定案，而非一開始就確定好。我們以問題概念及理解性為優先考量，然後再將全部的圖片、文章、排版調整到最剛好的閱讀順序及閱讀節奏。



　　本書的每一道問題都加入了數學小工具。

　

　　就像我們會使用跳板讓自己越過更多層的跳箱，若懂得運用數學工具，乍見毫無線索的問題也瞬間迎刃而解。那種逐步高漲的喜悅感，正是我們數學研究會熱衷於解題的原因，希望各位讀者也能體會到這種感受。與其說「腦袋好的人」才能夠解開題目，倒不如說是「懂得思考的人」來得更貼切。「思考」是一種能夠學習的運動，是可以鍛鍊的。請各位讀者在閱讀講解之前，先拿出紙和筆，並為自己保留專心解題的時間。請把每一題的解說視為眾多解法的其中一種，試著提出不同的解法。我敢保證，大家一定能在解題中感受到難以言喻的樂趣。



　　我希望讀者們都能從本書的題目中，感受到「流暢思考」的過程，並親身體會到數學是多麼有趣的事！