推薦序
洪萬生
幫助學生體會數學（美）無所不在
這一兩年來，「另類的」數學普及書籍成為出版商的注目焦點。以今年出版的作品為例，除了數學小說（mathematical fiction）文類的繼續風行之外，像《這才是數學》這一類的書寫，高舉數學教育的基進（radical）改革旗號，內容基調卻回歸古典（classical），總是帶給我們一種「今昔時空」疊置，不知身心何所依違之感。不過，也正因為這種既在地又抽離的處境，讓我們可以從容地體會數學的如何有趣，甚至如何有用。
本書《數學也可以這樣學》就是另一本這樣一類的數學普及作品，儘管其中包括作者教給七、八年級學生的主要數學課程內容。作者約翰?布雷克伍德任教於澳洲史泰納學校──華德福實驗教育系統的一環，因而本書也被納入華德福教育資源（Waldorf Education Resources）叢書。平心而論，作者的數學觀點不如《這才是數學》的作者來得基進，不過，堅持數學的某些進路與練習，則並無二致。而所有這些，則都指向數學的有趣面向。譬如說吧，本書的英文原版書名《 Mathematics in Nature, Space and Time》，就是企圖說明數學在天生自然領域、在空間脈絡以及在時間的流變中的無所不在。作者更是利用本書例證，強調「數學是描述世界的一種語言──上帝所創造的一種語言」。對他來說，數學是一種真正的門道或法門，「引領我們走向大自然之工作室（workshop of nature）的漸增理解」，因為「吾人可以相信不僅存有諸神，而且也可以對祂們#如何#運作產生興趣」。換言之，數學在大自然界中的無所不在，都是上帝的神工，而理解或鑑賞它們的不凡與美妙，則是榮耀上帝的一條進路。
數學實作（mathematical practice）可以「接近神蹟」的華德福教育哲學主張，正是十八世紀西方自然神學（natural theology）的現代翻版。顯然，這種主張就是將數學實作類比為一種「靈修」的過程。因為誠如史泰納（Rudolf Steiner）在他的《靈性活動的哲學》所指出，「有了（數學）思維活動，我們已經掌握了靈性的一個小小的角落。」
既然是靈修，那麼，數學實作回歸古典，依循古代哲人的進路，似乎是勢所必然。這或許也解釋了何以作者那麼鍾愛希臘古典幾何學中的尺規作圖。事實上，本書第一章一開始的練習一和二，就依序是（在給定線段上）作垂線，以及二等分角的尺規作圖。而全書的尺規作圖練習，則多達十幾個。可見，作者在繪製幾何圖形時，就十分貼近地呼應希臘古典幾何的「精確」要求。
希臘數學家，比如最具代表性的歐幾里得，就視「精確圖形」與「尺規作圖」是一體兩面。所謂尺規作圖，是指運用圓規與沒有刻度的直尺，在有限多次的步驟中，畫出一個圖形。這是古希臘歐幾里得在他的經典《幾何原本》中，所允許使用的作圖方法。按照他的主張，只要不是運用這種方法所作出來的圖形，就不能稱之為存在，因而也就不是數學研究的合法對象。這種合法性（legitimacy）由於結合了嚴格的邏輯證明，使得圖形的「精確」顯得理所當然，從而它們的「存在」也就無庸置疑了。
現在，讓我們簡要介紹本書內容。按照知識內容來分類，各章主題依序是幾何、數論（number theory）、柏拉圖立體，以及克卜勒三大行星運動定律。 有關最後一章的科學史敘事，作者認為克卜勒的不朽成就，完全在於他「對大自然的節奏理解」，因而可以「成為真正的自然科學」。此外，作者還針對人體（小宇宙）和大宇宙的節奏之對應關係，指出人類可視為巨觀中的微觀，於是，「男人是由上帝的形象造成的」，乃成為數學靈修的最後徹悟。
至於本書前三章內容都曾經在《幾何原本》出現，再度地見證這部偉大經典在作者心目中的地位。事實上，《幾何原本》討論的部份主題如下：第 I、III 及 IV 冊是平面幾何；第 XI-XII 冊是立體幾何；第 VII-IX 冊是數論，還有，第XIII一冊，亦即最後一冊，則是柏拉圖立體。附帶一提，這最後一冊的內容與前面各章幾何學（無論平面或立體）之關連，看起來在融貫性（coherence）方面上較為不足；亦即，這五個柏拉圖正立方體的存在，顯然並非歐氏幾何學知識系統不可或缺的一環，儘管本冊的所有命題之證明，當然還是完全依賴前面（相關）的命題。對於這樣的安排，數學史家猜測這是歐幾里得為了向柏拉圖「交心」，因為在有關知識本質方面，《幾何原本》被認為比較偏向亞里斯多德，他認為數學是被發明的，不過，他的師傅柏拉圖卻主張數學是被發現的，兩者明顯地有所不同。如將柏拉圖在《蒂邁歐篇》（Timaeus）中所塑造的造物主，轉換為基督教的上帝，那麼，作者的數學觀貼近柏拉圖主義，也就不言可喻了。
柏拉圖數學哲學所引伸出來的認知方法當然有其侷限，因為他的《米諾篇》（Meno）基於人生而有知，而認為知識是吾人只需經由「啟發」即可恢復的「前世」記憶（recollecting）。不過，本書所布置的數學練習，卻大大彌補了這個不足。經由摺紙及立體模型之（動手）製作，再輔以本書一再出現的尺規作圖，作者具體呈現了數學知識是吾人經由實作、再發明（re-inventing）而獲得的過程。這種「默合」亞里斯多德的現身說法，對於現代的數學教學現場，其實蠻具有提醒的功用，非常值得我們注意。
以上，我針對柏拉圖 vs. 亞里斯多德在（數學）認識論（epistemology）上的歧異，做了一點起碼的釐清。我的目的之一，無非是想要指出：儘管華德福的教育實驗，是基於他們首重靈性活動的教育哲學，然而，無論他們的認識論是否完備，甚至是否可以讓本書內容來佐證，從教育的所謂成效來看，其實都無關宏旨。這是因為如果第七、八年級階段的數學教育理想，是希望幫助學生體會數學（美）無所不在，從而通過模式（pattern）的掌握來學習它如何有用，那麼，本書內容就可以在我們的學校課程中，佔有一席之地了。
這麼說來，我們又將如何善用本書呢？為了要好好地感受數學那種令人無比驚奇的美，我強烈建議讀者好好地跟隨作者，做那五十八道練習。同時，我也希望讀者好好品味本書插圖，尤其是學生的作品，更是我們老師鼓勵學生在解題之外，應該著力的數學知識活動之範例。總之，本書是一本「另類的」數學普及作品，如果你也能運用另類的眼光來看待它，那麼，你就會有意想不到的收穫。
本文作者為臺灣師範大學數學系退休教授
